רבי אברהם הכהן מקליסק נולד בשנת 1741 בעיירה קאליסק (היום בבלארוס, ממזרח לוויטבסק) לרבי אלכסנדר. בנעוריו התפרסם כעילוי, ולפי ויקיפדיה האנגלית למד בצעירותו אצל הגאון מווילנה. לאחר מכן התקרב לרבי דב בער, המגיד ממזריטש, והפך לחסידו הנלהב. נשא לאישה את רוחמה, אחותו של המגיד ואלמנתו של ר' נח אלטשולר.

סביבו התרכזו חסידים רבים שדבקו בדרכו, שהתאפיינה בהתלהבות גדולה ובדבקות עילאית. התנהגותם החריגה של חסידיו עוררה התנגדות עזה; לימים טען רבי שניאור זלמן מלאדי שהיא הייתה בין הגורמים לחרמות שהוטלו על החסידים בליטא, ולאחר פטירת המגיד בשנת 1772 כוונה נגדו ונגד תלמידיו חלק גדול מההתנגדות לחסידות.

בשנת תקל"ז (1777) הצטרף לשיירת העולים בראשות חברו-רבו רבי מנחם מנדל מוויטבסק ועמד לימינו בהנהגתה; חתימתו מופיעה לצד חתימתו של רבי מנחם מנדל על רוב האיגרות שנשלחו לחוץ לארץ. הוא נשאר בצפת גם לאחר שנאלצו החסידים לעבור לטבריה בשנת תקמ"א (1781), והצטרף אליהם רק כעבור שנתיים. בטבריה ייסד בית מדרש עצמאי בסמוך לבית מדרשו של רבי מנחם מנדל.

לאחר פטירת רבי מנחם מנדל מוויטבסק בשנת תקמ"ח (1788) עמד בראש עדת החסידים בארץ ישראל, הנהיג אותה במשך 22 שנה והיה בין מקימי קופת מעות ארץ הקודש. במכתביו הרבים המריץ את חסידי חוץ לארץ לתמוך באחיהם שבארץ והדריכם הדרכה רוחנית, והם מספקים תמונה ברורה של חיי היישוב החסידי בטבריה. בעקבות הדפסת ספר התניא פרצה מחלוקת עזה בינו לבין רבי שניאור זלמן מלאדי: לדעתו יש לבסס את הנהגת כלל החסידים על אמונת חכמים ויראת שמים פשוטה, ואת העיסוק ברזי התורה להגביל לבני עלייה. רבי נחמן מברסלב ניסה להשכין שלום בין הצדדים בביקורו בארץ ישראל בשנת תקנ"ט (1799).

קונטרסו "חסד לאברהם" נדפס בסוף ספרו של רבי אברהם המלאך הנושא שם זה, ואיגרותיו הודפסו בקבצים רבים. נפטר בד' בשבט ה'תק"ע (9 בינואר 1810) ונטמן בבית העלמין העתיק בטבריה. על מצבתו נכתב: "פה נטמן אדמו"ר הרב הגדול והקדוש כמוהר"ר אברהם במו"ה אלכסנדר כהן לאל עליון".